Matematicas

jueves, 15 de marzo de 2012

La geometría analitica ha sido desde los inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

Geometría analítica

La geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica. Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.

Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:

Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que verifican dicha ecuación.

Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo $f(x,y)=0$ , donde $f$ es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan como ecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, $2x+6y=0$ ), las circunferencias y el resto de cónicas $x^2 + y^2 = 4$ , la hipérbola $xy = 1$ ), etc. como ecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia).
(http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica)

Construcciones Funadmentales

Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica#Construcciones_fundamentales)

Plano Cartesiano

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P(x,y)

(http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html)

Recibe su nombre al Matemático Rene Descartes

Localizacion de un punto en el plano cartesiano

En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado $(x, y)$ , siendo $x$ la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje horizontal) e $y$ la distancia al otro eje (al vertical).

En la coordenada $x$ , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada $y$ , el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).

A la coordenada $x$ se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la $y$ ordenada del punto. se la denomina

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a $0$ , así que serán de la forma $(x, 0)$ , mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a $0$ , por lo que serán de la forma $(0, y)$ .

El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia $0$ a cada uno de los ejes, luego su abscisa será $0$ y su ordenada también será $0$ . A este punto —el $(0, 0)$ — se le denomina origen de coordenadas.

Ecuaciones en el plano cartesiano

Una recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, el cálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.

La ecuación general de la recta es de la forma:

$Ax+By+C=0 \,$

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.

Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:

$y = m x + b \,$

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemos distinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dos ejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la función sea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales. El punto de corte con el eje de abscisas es el punto $(x_0,0)$ . La ecuación de dichas rectas es:

$x = x_0 \,$

Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominan rectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto $(0,y_0)$ . La ecuación de dichas rectas es:

$y = y_0 \,$

Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje de abscisas $(a,0)$ y otro punto de corte con el eje de ordenadas $(0,b)$ . El valor $a$ recibe el nombre de abscisa en el origen, mientras que el $b$ se denomina ordenada en el origen.

Area de cuerpos geométricos en mediante la utilización del plano catesiano

Secciones cónicas

El resultado de la intersección de la superficie de un cono, con un plano, da lugar a lo que se denominan secciones cónicas, que son: la parábola, la elipse (la circunferencia es un caso particular de elipse) y la hipérbola.

La parábola es el lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetría sea paralelo al eje de abcisas se expresa mediante la ecuación:

$y = a x^2 + bx + c \,$

La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,$

Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

$\frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 \,$

el resultado es una circunferencia:

$x^2 + y^2 = c^2 \,$

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

La hipérbola (Figura C) tiene por expresión:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

La geometría ha sido desde los inicio de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

Geometría
La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (incluyendo paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros...)
Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).
Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa)

Historia
La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milejshudhskymanio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa#Historia)

Axiomas, definiciones y teoremas
La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.
Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

Axiomas

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski.
En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. $f(x)$ puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa#Axiomas.2C_definiciones_y_teoremas)

Cuerpos geometricos

Cuerpos geometricos
Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya sean reales o ideales — que existen en la realidad o pueden concebirse mentalmente — ocupan un volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y están compuestos por figuras geométricas.
(http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpos_geom%C3%A9tricos)

1. Poliedro
Porción de espacio limitada por polígonos planos. Sus elementos característicos son las caras, las aristas y los vértices:
Las caras son los polígonos que la limitan.
Las aristas son los lados de las caras, y limitan dos caras contiguas.
Los vértices son los de las caras. En cada vértice de un poliedro concurren tres o más caras.
Un poliedro se llama convexo si todo él está en el mismo semiespacio respecto al plano de cada una de sus caras.
Poliedro cóncavo es el que tiene alguna cara cuyo plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple es el que no tiene orificios que lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple el teorema de Euler

2. Prisma
Poliedro limitado por dos polígonos iguales, llamados bases, situados en planos paralelos, y por varios paralelogramos, llamados caras laterales.

Se llama altura del prisma a la distancia entre los planos en que se sitúan sus bases.
Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…
Un prisma recto es el que tiene sus caras laterales perpendiculares a las bases:

En el prisma recto, las caras laterales son todas ellas rectángulos. Si sus bases son polígonos regulares, el prisma se llama regular.
Un prisma oblicuo es el que tiene sus aristas laterales oblicuas a los planos de las bases.
Los prismas cuyas bases son paralelogramos se llaman paralelepípedos. En un paralelepípedo, sus seis caras son paralelogramos.

Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:
Alat = perímetro de la base · altura
El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:
Atot = área lateral + 2 · área de la base
El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:
V = área de la base · altura
Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

Poliedros Regulares
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular: 4 caras triangulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6 aristas.
Cubo: 6 caras cuadradas, que concurren tres en cada vértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Octaedro: 8 caras triangulares, que concurren cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y 12 aristas.
Dodecaedro: 12 caras pentagonales regulares, que concurren tres en cada vértice. Tiene 20 vértices y 30 aristas.
Icosaedro: 20 caras triangulares, que concurren cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y 30 aristas
Dos poliedros regulares se llaman conjugados si cada uno de ellos se obtiene del otro uniendo mediante segmentos los puntos medios de cada dos caras contiguas. Así, el tetraedro es conjugado de sí mismo, el dodecaedro es conjugado del icosaedro y el cubo lo es del octaedro:
Tetraedro
Poliedro con cuatro caras que, necesariamente, han de ser triángulos. Es, por tanto, una pirámide triangular:

Si las cuatro caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, entonces se llama tetraedro regular y es uno de los cinco poliedros regulares. Habitualmente, al hablar del tetraedro se hace referencia al tetraedro regular.
El área de un tetraedro regular en función de su arista es:
A= a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3  /12
Cubo
Poliedro regular formado por seis caras cuadradas.

El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales.
El área total de un cubo de arista a es
A = 6a2
Su volumen es
V = a3
La longitud de su diagonal es: D= a Ö 3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Octaedro
Poliedro de ocho caras. Se suele designar genéricamente así al octaedro regular, poliedro formado por ocho triángulos equiláteros idénticos:

El área de las caras de un octaedro en función de su arista, a, es:
A= 2a2 Ö 3
Su volumen es:
V = a3/3
Dodecaedro
Poliedro regular formado por doce caras pentagonales:

El área de un dodecaedro de arista a es:

Su volumen es:
V = a3(15 + 7)/4
Icosaedro
Poliedro regular formado por veinte caras triangulares:

El área de un icosaedro es:

Su volumen es:
V = 5a3(3 + )/12

(http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml)

asociado a: difusion de notas